冲到家里打人情节严重的构成故意伤害罪。

《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条：殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处5日以上10日以下拘留，并处200元以上500元以下罚款；情节较轻的，处5日以下拘留或者500元以下罚款。